Eu sinceramente tenho algumas dificuldades em perceber como é que o Flash pode tirar grandes vantagens do Ajax.
Para mim, da "vasta lista" de funcionalidades interessantes do Ajax (e aproveitando para responder ao HolyMurderer), destaco a possibilidade de efectuar pedidos numa página sem ter que efectuar refresh da mesma. Ou seja, carrega-se a página inicial e depois há eventos que mudam a interface sem se ter que carregar toda a página de novo (através de pedidos assíncronos de informações).
Isto obviamente tem grandes vantagens em termos de tráfego nas páginas e também em termos de velocidade (não precisas de voltar a carregar todas as imagens). E é bastante interessante para sites que estão feitos em php, asp, aspx, etc.
Mas como todos sabemos, o flash já faz isto há algum tempo, certo? O flash consegue, através de pedidos a páginas server side scripting, alterar o seu conteúdo, validar de tempos a tempos informações, etc.
E mais, para mim o Flash e Ajax são parecidos em vários pontos, incluindo numa das principais criticas apontadas, que é o facto da sua navegação não permitir o uso do history do browser (back e forward não funcionam).
Andei a pesquisar um pouco mais e basicamente parece-me é que o flash quer claramente integrar-se melhor com javascript, de forma a permitir coisas como isto:
http://weblogs.macromedia.com/mxna/reports/categoryFeedReport/Mas isto é "basicamente" um página com javascript a aceder ao objecto html swf e a mandar-lhe informação sobre o pedido que há-de depois fazer ao servidor. E ao mesmo tempo, através de javascript, faz pedidos a outras páginas coldfusion, que alteram o valor do html em baixo do gráfico. Mas o flash aqui só está a fazer o papel de gráfico, a integração Ajax - Flash não é propriamente muita...
Eu acredito, como disse no primeiro post, que muitas funcionalidades nas páginas web que viamos agora feitas em flash, vão passar a ser feitas em ajax, por serem mais rápidas, mais leves e mais integradas no restante html, e que o flash passará a ser cada vez mais para animações, publicidade, jogos...
Mas são 2 excelentes tecnologias web, e gostava de encontrar exemplos concretos de como a fusão destas 2 grandes tecnologias pode tornar a experiência dos utilizadores muito melhor...
Estive a reler o texto da wikipedia em inglês e está bastante completo, pelo que aconselho a sua leitura a quem queria perceber melhor como funciona a tecnologia, os seus prós e contras:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ajax_%28programming%29